傍心の意味と性質・内心との比較
傍心の意味と性質・内心との比較

傍心の意味と性質・内心との比較

傍心は内心と非常に似た性質を持っているので，傍心に関する定理は内心に関する定理とほとんど同様にして導くことができます。

ただし， S S S は三角形 A B C ABC A BC の面積， a = B C , b = C A , c = A B a=BC,b=CA,c=AB a = BC , b = C A , c = A B で s = a + b + c 2 s=\dfrac s = 2 a + b + c ​ です。これは，内接円の半径 r r r に関する公式 S = 1 2 r ( a + b + c ) = r s S=\dfracr(a+b+c)=rs S = 2 1 ​ r ( a + b + c ) = rs と似ています！→内接円の半径と三角形の面積

△ A B C ABC A BC =△ I B C IBC I BC +△ I C A ICA I C A +△ I A B IAB I A B

が成り立つことから S = 1 2 r ( a + b + c ) S=\dfracr(a+b+c) S = 2 1 ​ r ( a + b + c ) がわかった。

△ A B C ABC A BC =ー△ I A B C I_ABC I A ​ BC +△ I A C A I_ACA I A ​ C A +△ I A A B I_AAB I A ​ A B

が成り立つことから S = 1 2 r A ( − a + b + c ) S=\dfracr_A(-a+b+c) S = 2 1 ​ r A ​ ( − a + b + c ) がわかる。

次は，三角形の頂点と「傍接円の接点 D , E , F D,E,F D , E , F 」までの距離について考えます。

傍接円の接点までの距離
  • A E = A F = 1 2 ( a + b + c ) = s AE=AF=\dfrac(a+b+c)=s A E = A F = 2 1 ​ ( a + b + c ) = s
  • B F = B D = 1 2 ( a + b − c ) = s − c BF=BD=\dfrac(a+b-c)=s-c BF = B D = 2 1 ​ ( a + b − c ) = s − c
  • C D = C E = 1 2 ( a − b + c ) = s − b CD=CE=\dfrac(a-b+c)=s-b C D = CE = 2 1 ​ ( a − b + c ) = s − b
  • A F = A E = 1 2 ( − a + b + c ) = s − a AF=AE=\dfrac(-a+b+c)=s-a A F = A E = 2 1 ​ ( − a + b + c ) = s − a
  • B F = B D = 1 2 ( a − b + c ) = s − b BF=BD=\dfrac(a-b+c)=s-b BF = B D = 2 1 ​ ( a − b + c ) = s − b
  • C D = C E = 1 2 ( a + b − c ) = s − c CD=CE=\dfrac(a+b-c)=s-c C D = CE = 2 1 ​ ( a + b − c ) = s − c

内心の場合の公式 は，「1点から円に引いた2本の接線の長さが等しい」という性質： A F = A E , B D = B F , C D = C E AF=AE, BD=BF, CD=CE A F = A E , B D = BF , C D = CE から導出できた。(詳細は，タンジェントの美しい関係式の後半参照)

傍心の場合 も同じく A F = A E , B D = B F , C D = C E AF=AE, BD=BF, CD=CE A F = A E , B D = BF , C D = CE は成立し，以下のように証明できる：

A F = c + B F = c + B D = c + a − C D = a + c − C E = a + c − ( A E − b ) = a + b + c − A F AF=c+BF\\ =c+BD\\ =c+a-CD\\ =a+c-CE\\ =a+c-(AE-b)\\ =a+b+c-AF A F = c + BF = c + B D = c + a − C D = a + c − CE = a + c − ( A E − b ) = a + b + c − A F

よって， A F = 1 2 ( a + b + c ) AF=\dfrac(a+b+c) A F = 2 1 ​ ( a + b + c )

このように 傍心は内心と同様に扱えます。 内心に関する性質は導出方法も含めて覚えておくべきですが，傍心に関する性質は覚える必要はありません。傍心の性質は内心の場合から導出できますので。

内接円の半径 r r r と3つの傍接円の半径 r A , r B , r C r_A,r_B,r_C r A ​ , r B ​ , r C ​ に対して，

S = r r A r B r C S=\sqrt S = r r A ​ r B ​ r C ​

  • S = r s S=rs S = rs
  • S = r A ( s − a ) = r B ( s − b ) = r C ( s − c ) S=r_A(s-a)=r_B(s-b)=r_C(s-c) S = r A ​ ( s − a ) = r B ​ ( s − b ) = r C ​ ( s − c )
  • S 2 = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) S^2=s(s-a)(s-b)(s-c) S 2 = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c )

東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る