【数学小話】中学生からの結び目理論入門①

大学の数学というのは分野が非常に細分化されており、その1つを究めるだけで精一杯、という世界です。その中でも筆者が現在関心のある分野である結び目理論について、中学生でも理解できる言葉だけ（たまに外れるかもしれません）で、その面白さを説明してみようと思います。直観的なことをどう数学として定式化するか、どうやって解析の道具を作り、使うか、といった理論の奥深さも知ってもらいたい、という動機からこのシリーズを始めました。 第1回 結び目理論とは何か（本記事） 第2回 不変量（未投稿） 結び目理論とは何か 結び目が違うことを証明する 結び目理論とは何か まずここで言う結び目とはどういうものを指すかを述べま…

まずここで言う結び目とはどういうものを指すかを述べます。結び目とは、空間内の紐の両端をつなげたものを指します。つまり紐をぐちゃぐちゃっと絡ませて（もちろん何もしなくてもいいです）その両端をつなげたものを結び目と言います。結び目は我々が生活している空間の中の存在として考えるますが、机の上で考えるために、立体的な結び目を平面的な図として描き表します。下図(a)、(b)、(c)右のように、上下で交差している様子をうまく表現して結び目を平面に描いたものを射影図といいます。

図1において、(a)は何もないただのループで、これは一番簡単な結び目として自明な結び目などと言われます。(b)はその次に最も簡単な結び目、三葉結び目などと呼ばれるものです。結び目と聞いて真っ先に思い浮かぶのは(c)左のようなものでしょう。しかし数学において結び目といえば、あくまでループ、両端が繋がっていないといけないので、両端を繋げたもの、(c)の右図としてとらえます。

図2左に、複雑そうな結び目を描いてみました。一見複雑そうに見えますが、実はこの紐はうまくほどけて自明な結び目(図2右)にすることが出来ます。このように、切ることなくほどけて自明な結び目になるなら、その結び目は自明な結び目と「同じ」と言います。さらに図1にもどって、三葉結び目(b)と、(c)の右の結び目も、じつは実際に紐を手で持って動かすなどすれば、「同じ」であることが確認できます。ここでの同じとは、 切ったりせず 連続的に変形して一方が他方に移り変わること を意味します。

結び目理論はどういうものか一言で言うと、 2つの結び目が同じかどうかを、どうやって調べるか考える理論 です。

昔の子供がやる遊びとして、あやとりがありました。あれは自明な結び目をひねったりくぐらせたりして、切ることなく連続的な変形によってさまざまな形を作る試みと言えます。あやとりの作品はすべてほどけるので、自明な結び目と同じです。

実は、この(a)自明な結び目と(b)三葉結び目は、同じではないことが数学的に証明できます。

具体的にどう証明するかは、次回以降見ていくことにしますが、時には中学生でも分かるような手法だったり、時には大学以上の数学を使う方法だったりと、結び目を区別する道具はいくつもありますが、どれも一長一短があり、2つの結び目が同じか異なるか、完璧な判別方法はありません。

その手順に従うと、この三葉結び目の左では 、右では という式になります。そして、同じ結び目なら（形状は違っても）同じ式になる、違う式なら異なる結び目である、という性質が証明できるので、これでもってこの2つの結び目は異なることが証明されるのです。

*1 : この画像はLickorish,An Introduction to Knot Theoryのp.5より引用

・k : 都立日比谷高校(平成28年卒業)出身。早稲田大学基幹理工学部卒。京都大学理学研究科在学。得意科目は数学。 ・AKKY : 都立日比谷高校(平成28年卒業)出身。早稲田大学政治経済学部卒業。得意科目は古典・世界史。 ・Ｈ : 都立日比谷高校(平成28年卒業)出身。慶應義塾大学理工学部卒業。得意科目は英語。

・k : 都立日比谷高校(平成28年卒業)出身。早稲田大学基幹理工学部在学。得意科目は数学。 ・AKKY : 都立日比谷高校(平成28年卒業)出身。早稲田大学政治経済学部在学。得意科目は古典・世界史。 ・Ｈ : 都立日比谷高校(平成28年卒業)出身。慶應義塾大学理工学部在学。得意科目は英語。