ベクトルの内積を用いた余弦定理の証明

ベクトルの内積を用いて第二余弦定理を証明します。やることは単純ですが，循環論法に対する注意が必要です。

3（分配法則の導出）．成分表示を用いることで，分配法則 a undefined ⋅ ( b undefined + c undefined ) = a undefined ⋅ b undefined + a undefined ⋅ c undefined \overrightarrow\cdot(\overrightarrow+\overrightarrow)=\overrightarrow\cdot\overrightarrow+\overrightarrow\cdot\overrightarrow a

つまり，この流儀の場合， 余弦定理の証明に内積の分配法則を使ってしまうと循環論法になる のです。

STEP1（内積の定義）．内積を a undefined ⋅ b undefined = ∣ a undefined ∣ ∣ b undefined ∣ cos ⁡ θ \overrightarrow\cdot\overrightarrow=|\overrightarrow||\overrightarrow|\cos\theta a

a undefined \overrightarrow a

と b undefined \overrightarrow b

のなす角を θ \theta θ とおく。

三角形 A B C ABC A BC において， B C , C A , A B BC,CA,AB BC , C A , A B の長さをそれぞれ a , b , c a,b,c a , b , c とおきます。

第二余弦定理： a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos ⁡ A a^2=b^2+c^2-2bc\cos A a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A を証明します。

a 2 = ∣ B C undefined ∣ 2 = ∣ A C undefined − A B undefined ∣ 2 ( 内積の定義 ) = ( A C undefined − A B undefined ) ⋅ ( A C undefined − A B undefined ) ( 内積の分配法則を用いる ) = A C undefined ⋅ A C undefined + A B undefined ⋅ A B undefined − 2 A C undefined ⋅ A B undefined ( もう一度内積の定義を用いる ) = b 2 + c 2 − 2 b c cos ⁡ A \begin a^2&=|\overrightarrow|^2\\ &=|\overrightarrow-\overrightarrow|^2 &(\text)\\ &=(\overrightarrow-\overrightarrow)\cdot (\overrightarrow-\overrightarrow) &(\text)\\ &=\overrightarrow\cdot\overrightarrow+\overrightarrow\cdot\overrightarrow-2\overrightarrow\cdot\overrightarrow\\ & &(\text)\\ &=b^2+c^2-2bc\cos A \end a 2 ​ = ∣ BC

= b 2 + c 2 − 2 b c cos A ​ ( 内積の定義 ) ( 内積の分配法則を用いる ) ( もう一度内積の定義を用いる ) ​

東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る