円錐の表面積の求め方 - 公式と計算例

円錐の表面積を求める公式は、S = πr(r+R) で表されます ♦ このページでは、「公式を使う場合」と「使わない場合」に分け、円錐の表面積の求め方を例題と共に説明しています。

円錐 ( えんすい ) の 表面積 ( ひょうめんせき ) を 求 ( もと ) める 公式 ( こうしき ) （小学生向け） 表面積 ( ひょうめんせき ) = 半径 ( はんけい ) × 半径 ( はんけい ) × 3.14（ 円周率 ( えんしゅうりつ ) ） + 半径 ( はんけい ) × 母線 ( ぼせん ) の 長 ( なが ) さ × 3.14（ 円周率 ( えんしゅうりつ ) ） 円錐 ( えんすい ) の 表面積 ( ひょうめんせき ) を 求 ( もと ) める 公式 ( こうしき ) （ 文字式 ( もじしき ) ） \begin S &= \pi r (r+R) \\[5pt] &= \pi r^2 + \pi r\sqrt \end 底面の半径 r、母線の長さ R の円錐

文字式の S は円錐の表面積、r は底面の円の半径、R は母線の長さを表します。母線の長さ R がわからない場合は、文字式 2 行目の通り底面の半径と円錐の高さから、三平方の定理を使って母線の長さ R を求めることができます（問題例）。円錐の体積を求めるには、この公式に値を代入します。

円錐の表面積を求める公式

前述の通り、円錐の表面積 S を求める公式は、次の通りです。

S 円錐の表面積（ S urface area） π 円周率（= 3.14…） r 底面の円の半径（ R adius） R 母線の長さ

ここでは、公式化するために、底面の半径 r 、母線の長さ R の円錐を考えます。

底面の半径 r、母線の長さ R の円錐

• 側面を展開すると半径 R の扇形になる。
• 側面を展開してできる扇形の弧の長さと、底面の円周の長さは等しい。
• 半径が等しい扇形の面積は、弧の長さに比例する。

まず、底面は円なので、底面積はそのまま、$ \pi r^2 $ で求めることが出来ますね。

円錐の側面を展開すると、扇形になります。ここで、図に赤線で示した「扇形の弧」と「底面の円周」は、もともと接していたため、長さが等しいことに注目します。つまり、底面の円周は $ 2\pi r $ なので、扇形の弧の長さも $ 2\pi r $ になります。

最後に、扇形の面積は弧の長さに比例することを用います。半径 R の円周は $ 2\pi R $、面積は $\pi R^2 $ です。この円のうち、弧の長さ $ 2\pi r $ となる扇形の面積を求めればよいことが分かります。つまり、半径 R の円の面積に、「円周に対する弧の長さの割合」を掛ければよいのです。計算すると、

\begin \text &= \pi R^2 \times \frac \\[5pt] &= \pi Rr \end

となり、側面積が求まりました。よって円錐の側面積 S は、底面積と側面積を足し合わせて、

\begin S &= \pi r^2 + \pi Rr \\[5pt] &= \pi r(r+R) \end

円錐の表面積を求める計算問題

底面の半径 2、母線の長さ 6 の円錐の表面積 S を求めよ。

円錐の表面積を求める公式を覚えていれば、ただそれに代入すればいいだけですね。$ r = 2, R=6 $ より

\begin S &= \pi r(r+R) \\[5pt] &= \pi \times 2 \times (2+6) \\[5pt] &= 16 \pi \\ \end

まず、底面積は $ \pi r^2 = \pi \times 2^2 = 4\pi $ と求まります。

次に、「底面の円周の長さ」と「側面を展開してできた扇形の弧の長さ」は等しく、ともに $ 2 \pi r = 2 \pi \times 2 = 4 \pi $ です。

半径 6 の円の面積は $ \pi \times 6^2 = 36 \pi $、円周の長さは $ 2\pi R = 2\pi \times 6 = 12\pi $ です。よって弧の面積は、半径 6 の円の面積 $36\pi$ に、「円周の長さ $12\pi$ に対する弧の長さ $4\pi$ の割合」をかけて

\begin \text &= 36\pi \times \frac \\[5pt] &= 12\pi \end

\begin S &= 4\pi + 12\pi \\[5pt] &= 16\pi \end

ちなみに、扇形の面積同様、扇形の中心角も弧の長さに比例します。よって、この円錐の側面を展開して得られた扇形の中心角 $\theta$ は

\begin \theta &= 360^\circ \times \frac \\[5pt] &= 120^\circ \end

底面の半径が 3、高さが 4 の円錐の表面積 S を求めよ。

\begin S &= \pi \times 3 \times ( 3+5 ) \\[5pt] &= 24 \pi \end

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