アルキメデスの螺旋

アルキメデスの螺旋（アルキメデスの渦巻線）についての知識を整理しました。グラフ・面積・曲線の長さ・媒介変数表示・直交座標表示を紹介しています。

S = ∫ θ 1 θ 2 1 2 r 2 d θ = 1 2 ∫ θ 1 θ 2 a 2 θ 2 d θ = a 2 ( θ 2 3 − θ 1 3 ) 6 S=\displaystyle\int_^\dfracr^2d\theta\\ =\dfrac\displaystyle\int_^a^2\theta^2d\theta\\ =\dfrac S = ∫ θ 1 ​ θ 2 ​ ​ 2 1 ​ r 2 d θ = 2 1 ​ ∫ θ 1 ​ θ 2 ​ ​ a 2 θ 2 d θ = 6 a 2 ( θ 2 3 ​ − θ 1 3 ​ ) ​

x = a θ cos ⁡ θ , y = a θ sin ⁡ θ x=a\theta\cos\theta,y=a\theta\sin\theta x = a θ cos θ , y = a θ sin θ

極座標表示と x y xy x y 座標表示の間の関係式： x = r cos ⁡ θ , y = r sin ⁡ θ x=r\cos\theta,y=r\sin\theta x = r cos θ , y = r sin θ より， x = a θ cos ⁡ θ , y = a θ sin ⁡ θ x=a\theta\cos\theta,y=a\theta\sin\theta x = a θ cos θ , y = a θ sin θ という媒介変数表示が得られる。

は，アルキメデスの螺旋の x y xy x y 直交座標表示である。

x = r cos ⁡ θ , y = r sin ⁡ θ x=r\cos\theta,y=r\sin\theta x = r cos θ , y = r sin θ

より， x 2 + y 2 = r 2 x^2+y^2=r^2 x 2 + y 2 = r 2

r = x 2 + y 2 r=\sqrt r = x 2 + y 2

また tan ⁡ θ = y x \tan\theta=\dfrac tan θ = x y ​

東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る