和積公式の覚え方と証明：覚えるべきか毎回導出すべきか？

三角関数の和積公式を紹介します。和積公式は三角関数の「和」を「積」に変換する公式です。和積公式の覚え方と導出についてくわしく紹介します。

まず，和積公式の大雑把な形を覚えます： F ( A ) ± F ( B ) = ± 2 f 1 ( A + B 2 ) f 2 ( A − B 2 ) F(A)\pm F(B)=\pm 2f_1\left(\dfrac\right)f_2\left(\dfrac\right) F ( A ) ± F ( B ) = ± 2 f 1 ( 2 A + B ) f 2 ( 2 A − B )

そして「 F , f 1 , f 2 F,f_1,f_2 F , f 1 , f 2 がサインなのかコサインなのか」と「符号」を覚えます。例えば，以下のような語呂で覚えましょう。

師は信仰（しはしんこう，si和si co） sin ⁡ A + sin ⁡ B = 2 sin ⁡ A + B 2 cos ⁡ A − B 2 \sin A+\sin B=2\sin\dfrac\cos\dfracsin A + sin B = 2 sin 2 A + B cos 2 A − B
師引っ越し（しひっこし，si引くco si） sin ⁡ A − sin ⁡ B = 2 cos ⁡ A + B 2 sin ⁡ A − B 2 \sin A-\sin B=2\cos\dfrac\sin\dfracsin A − sin B = 2 cos 2 A + B sin 2 A − B
子は孝行（こはこうこう，co和co co） cos ⁡ A + cos ⁡ B = 2 cos ⁡ A + B 2 cos ⁡ A − B 2 \cos A+\cos B=2\cos\dfrac\cos\dfraccos A + cos B = 2 cos 2 A + B cos 2 A − B
子引く負け獅子（こひくまけしし，co引くマイナス掛けsi si） cos ⁡ A − cos ⁡ B = − 2 sin ⁡ A + B 2 sin ⁡ A − B 2 \cos A-\cos B=-2\sin\dfrac\sin\dfraccos A − cos B = − 2 sin 2 A + B sin 2 A − B

補足

sin ⁡ \sin sin と cos ⁡ \cos cos は1以下なので，足し算より掛け算のほうが小さい。つまり，右辺に 2 2 2 がつくのが自然（この意識があれば，積和公式と混同して 1 2 \dfrac2 1 をつけたりしないようになる）。
A = B A=B A = B のときに成立する（この意識があれば右辺のサインコサインの中身を A + B A+B A + B などと間違えることはない）
サインについては， B = 0 B=0 B = 0 のとき倍角公式になる。

和積公式の導出（証明）を紹介します。慣れればそんなに時間はかからないので，毎回導出してもよいですね。毎回導出するとしても，下記の紫色の部分は4つとも全く同じなので覚えておくとよいです。

sin ⁡ ( α + β ) = sin ⁡ α cos ⁡ β + cos ⁡ α sin ⁡ β \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β sin ⁡ ( α − β ) = sin ⁡ α cos ⁡ β − cos ⁡ α sin ⁡ β \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta sin ( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β

辺々足し算する： sin ⁡ ( α + β ) + sin ⁡ ( α − β ) = 2 sin ⁡ α cos ⁡ β \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta sin ( α + β ) + sin ( α − β ) = 2 sin α cos β

ここで， α + β = A \alpha+\beta=A α + β = A ， α − β = B \alpha-\beta=B α − β = B とおく。連立方程式を解くと α = A + B 2 \alpha=\dfrac α = 2 A + B ， β = A − B 2 \beta=\dfrac β = 2 A − B となる。よって，

sin ⁡ A + sin ⁡ B = 2 sin ⁡ A + B 2 cos ⁡ A − B 2 \sin A+\sin B=2\sin\dfrac\cos\dfrac sin A + sin B = 2 sin 2 A + B cos 2 A − B

辺々引き算する： sin ⁡ ( α + β ) − sin ⁡ ( α − β ) = 2 cos ⁡ α sin ⁡ β \sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta sin ( α + β ) − sin ( α − β ) = 2 cos α sin β

sin ⁡ A − sin ⁡ B = 2 cos ⁡ A + B 2 sin ⁡ A − B 2 \sin A-\sin B=2\cos\dfrac\sin\dfrac sin A − sin B = 2 cos 2 A + B sin 2 A − B

(3)コサインの和の導出

cos ⁡ ( α + β ) = cos ⁡ α cos ⁡ β − sin ⁡ α sin ⁡ β \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β cos ⁡ ( α − β ) = cos ⁡ α cos ⁡ β + sin ⁡ α sin ⁡ β \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β

辺々足し算する： cos ⁡ ( α + β ) + cos ⁡ ( α − β ) = 2 cos ⁡ α cos ⁡ β \cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta cos ( α + β ) + cos ( α − β ) = 2 cos α cos β

cos ⁡ A + cos ⁡ B = 2 cos ⁡ A + B 2 cos ⁡ A − B 2 \cos A+\cos B=2\cos\dfrac\cos\dfrac cos A + cos B = 2 cos 2 A + B cos 2 A − B

(4)コサインの差の導出

辺々引き算する： cos ⁡ ( α + β ) − cos ⁡ ( α − β ) = − 2 sin ⁡ α sin ⁡ β \cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)=-2\sin\alpha\sin\beta cos ( α + β ) − cos ( α − β ) = − 2 sin α sin β

cos ⁡ A − cos ⁡ B = − 2 sin ⁡ A + B 2 sin ⁡ A − B 2 \cos A-\cos B=-2\sin\dfrac\sin\dfrac cos A − cos B = − 2 sin 2 A + B sin 2 A − B

個人的には作戦2（毎回導出）がおすすめです。理由は以下の3つです。
- 導出はそんなに難しくないです。慣れれば頭の中でできる人が多いと思います（最終結果以外の途中式を書く必要がない）。
- 和積公式を使う機会はそこまで多くないです。
- 語呂で覚えるのがなんとなく好きではないです。
- チェビシェフ多項式では和積公式が活躍します。
- sin ⁡ A + sin ⁡ B + sin ⁡ C \sin A+\sin B+\sin C sin A + sin B + sin C など，3つの三角関数の和を積に変換する公式もあります。→三角形の内角における和積公式