三角関数の合成公式 - 三角関数の公式一覧

三角関数の合成とは、a sin θ + b cos θ のように、角 θ が等しいサインとコサインを、1つのサインの関数にまとめることです。このページでは、三角関数の合成公式を示し、その導出方法と計算例、関数の最大値や最小値を求める問題への応用を説明しています。また、コサインの形に合成する方法も示しています。

\begin \sqrt\sin\theta + \cos\theta &= 2\left( \frac\cos\theta + \frac\sin\theta \right) \\[5pt] &= 2\left( \cos\theta\cos\frac +\sin\theta\sin\frac \right) \\[5pt] &= 2\cos\left( \theta-\frac \right) \\[5pt] \end

このように、三角関数の合成は sin の形に限ったものではなく、cos の形に合成することもできるのです。

$ 0 \leqq \theta \leqq \frac $ のとき、$ \sin\theta + \sqrt\cos\theta $ の最大値を求めよ。

三角関数の合成公式を用いて、変数 θ を１か所にまとめます。

\begin \sin\theta + \sqrt\cos\theta = 2\sin\left(\theta+\frac\right)\end

この関数の定義域は、$ 0 \leqq \theta \leqq \frac $ より $ \frac \leqq \theta+\frac \leqq \frac\pi $ です。

関数 $\sin\left(\theta+\frac\right)$ の定義域と値域

\[ \frac \leqq \sin\left(\theta+\frac\right) \leqq 1 \]

\[ 1 \leqq 2\sin\left(\theta+\frac\right) \leqq 2 \]

$ \frac \leqq \theta \leqq \frac $ のとき、$ 3\sin\theta + 4\cos\theta $ の最大値を求めよ。

この問題は上の問題と違い、 α の値が求まらないタイプ です。しかし、α の関係式から、θ+α が動く範囲を考えて解くことができます。

それでは、上の問題同様に、三角関数の合成公式を用いて、変数 θ を１か所にまとめます。

\begin 3\sin\theta + 4\cos\theta = 5\sin\left(\theta+\alpha\right) \\[5pt] \end\begin \text & \\[5pt] \cos\alpha &=\frac,\,\sin\alpha=\frac \end

角 α の値は求まりませんが、上の関係より、第1象限の角であることが分かります。さらに、

より、下の図で $\angle AOX \lt \frac $ であることが分かります。

関数 $5\sin\left(\theta+\alpha\right)$ の定義域と値域

よって、$ \frac+\alpha \leqq \theta+\alpha \leqq \frac+\alpha $ のとき、関数 $5\sin\left(\theta+\alpha\right)$ は、上の図の半径5の円周上を、点Pから点Qまで動くときの y 座標を示すことになります（図の青色矢印の範囲）。

したがってこの関数の最大値は 5 であることが分かりました。

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