キルヒホッフの法則

キルヒホッフの法則 左図の青色の経路において、右回りを正とします。起電力を E とします。 すると、この起電力は、図において左向き、経路において右回りに電流を流そうとし、電位を上昇させようとするから、正、つまり + E 。 次に、 R 2 は電位を降下させようとするから、負で、- R 2 I 2 ＊ （電位差）=（電圧）=（抵抗）×（電流）です。オームの法則です。

左図の青色の経路において、右回りを正とします。起電力を E とします。 すると、この起電力は、図において左向き、経路において右回りに電流を流そうとし、電位を上昇させようとするから、正、つまり + E 。 次に、 R 2 は電位を降下させようとするから、負で、- R 2 I 2 ＊ （電位差）=（電圧）=（抵抗）×（電流）です。オームの法則です。 閉じる 。 次に、 R 3 も電位を降下させようするから、負で、- R 3 I 3 。 つまり、 + E - R 2 I 2 - R 3 I 3 = 0 ……① となるわけです。

このとき、キルヒホッフの第2法則の「電位差の和は 0 である」の部分を「起電力の和=電圧降下の和」と覚えた場合は、

（右回りを正として）起電力は電流の向きと同じなので、正で、 E 。 次に、 R 2 は電流の向きと経路の向きが同じで、抵抗は電位を「降下」させ、その分量は R 2 I 2 ＊ このときもし電流の向きが右回りと逆だったら（左回りだったら）、 R 2 は「右回りには電位を降下させない（むしろ上昇させる）」と考えて、- R 2 I 2 とします。 閉じる 。 次に、 R 3 も同様に R 3 I 3 。 つまり、 E = R 2 I 2 + R 3 I 3 ……② となります。

もし、（右回りでなく左回りを正）と決め、「電位差の和は 0 である」方式を採用すると、 - E + R 2 I 2 + R 3 I 3 = 0 ……③ という式が立てられますが、

左図の緑色の経路に関しては、右回りを正としますと、キルヒホッフ第2法則の式は、 + E - R 2 I 2 - R 4 I 4 = 0 となります。

左図のオレンジ色の経路に関しても、キルヒホッフの第2法則の式を立てることができます。右回りを正とします。すると、この経路には起電力は無く、 I 3 の向きは右向きなので、 R 3 I 3 - R 4 I 4 = 0 となります。（ I 3 が右向きなので、 R 3 を左向きに通過する場合に、電位は上がるので、第一項は - R 3 I 3 ではなく R 3 I 3 。電流は電位の高い所から低い所に流れます。）

左図の ？ [V] 、 ？ [Ω] の大きさと、各抵抗を流れる電流の向きと大きさを求めよ、という問題が出題されたと仮定して、これを解いてみます。

このとき、 I 1 = I 3 、 I 2 = I 5 、 I 8 = I 9 = I 10 です。電流にしてみれば、左図の電気回路の辺の数は１０個でなく６個です。分岐点の数が４個で、１つの分岐点から３つの枝が出ていて、１つの辺には２つの端が付いている、ことからすると、辺の数は、4 × 3 ÷ 2 = 6 です。

ⓐ式を変形して - I 1 = I 2 - 2.0A ⓑ式を変形して I 1 + I 6 = 6.0A ⓒ式を変形して I 7 - I 6 = 2.0A ３式を足し合わせると I 7 = I 2 + 6.0A となり、ⓓ式が導かれます。

このような経路を考えて方程式を立ててもいいのですが、これは と と を足し合わせただけのものです。あるいは、 から を引いただけのものです。ですから独立した経路とはみなされません。計算ミスを犯すもととなりますからあまり複雑な経路は考えない方がいいです。

「起電力の和=電圧降下の和」方式でなく、「電位差の和は 0 である」方式で式を立てます。

（経路A→B→E→D→Aについて） （A→B）電流はA→Bに流れていて、抵抗を通過すると電位が下がるので、 - 1.0Ω× I 1 （もし真の電流の向きが仮設定と逆であった場合は I 1 の値が負となり、- 1.0Ω× I 1 の値は正となり、A点よりB点の方が電位が高いことになります。） （B→E）電流はB→Eに流れていて、抵抗を通過すると電位が下がるので、 - R 4×2.0A （E→D）電流はD→Eに流れていて、電位はD点の方が高いので、E点からD点を見ると電位が高くなっているので、 + 2.5Ω× I 6 （D→A）起電力はD→Aの方向に向いているので、D点からA点を見ると電位が高くなっているので、 + 2.0V つまり、 - 1.0Ω× I 1 - R 4×2.0A + 2.5Ω× I 6 + 2.0V = 0 ……ⓔ

（経路B→C→F→E→Bについて） （B→C）起電力の向きがB点の方向を向いているのでC点の方が電位が低く、（起電力については電流の方向と無関係で、起電力の向く方向が必ず電位が高くなります。） - E 2 （C→F）電流はF→Cに流れていて、電位はF点の方が高いので、C点からF点を見ると電位が高くなっているので、 + 3.0Ω× I 2 （F→E）電流はE→Fに流れていて、電位はE点の方が高いので、F点からE点を見ると電位が高くなっているので、 + 2.0Ω× I 7 （E→B）電流はB→Eに流れていて、電位はB点の方が高いので、E点からB点を見ると電位が高くなっているので、 + R 4×2.0A つまり、 - E 2 + 3.0Ω× I 2 + 2.0Ω× I 7 + R 4×2.0A = 0 ……ⓕ

（経路D→E→F→H→G→Dについて） （D→E）電流はD→Eに流れていて、抵抗を通過すると電位が下がるので、 - 2.5Ω× I 6 （E→F）電流はE→Fに流れていて、抵抗を通過すると電位が下がるので、 - 2.0Ω× I 7 （F→H）起電力の向きがF点の方向を向いているのでH点の方が電位が低く、 - 4.0V （H→G）電流はH→Gに流れていて、抵抗を通過すると電位が下がるので、 - 0.50Ω×6.0A （G→D）起電力はG→Dの方向に向いているので、G点からD点を見ると電位が高くなっているので、 + 20V つまり、 - 2.5Ω× I 6 - 2.0Ω× I 7 - 4.0V - 0.50Ω×6.0A + 20V = 0 ……ⓖ

これで方程式が ⓐ式、ⓑ式、ⓒ式、ⓔ式、ⓕ式、ⓖ式、と６個そろいました。求めたい未知数は E 2 、 R 4 、 I 1 、 I 2 、 I 6 、 I 7 の６個です。方程式が未知数と同じ個数あるので、解が求められるはずです。未知数が n 個のときは方程式が n 個あれば解が求まります。

- 2.5 I 6 - 2.0 I 7 - 4.0 - 3.0 + 20 = 0 ……ⓖ

これらをⓔ式に代入して、 - 4.0 - 2.0 R 4 + 2.5×2.0 + 2.0 = 0 - 2.0 R 4 = - 3.0 R 4 = 1.5

これですべての未知数が判明しました。 I 2 は負の値になりましたので、仮設定とは逆向きということです。

G点の電位を 0V としてA点～H点までの電位を記入して、矛盾がないか検算してみます。