無限等比級数の図形への応用（フラクタル図形：コッホ雪片）
定期試験・大学入試対策に特化した解説。コッホ雪片は周長は∞になるが面積は収束する図形である。
>1辺の長さが$a$の正三角形を$F₁$とし,\ 多角形$F_n\ (n=1,\ 2,\ )$を次のように作る. (ア)$F_n$の1辺を3等分し,\ 3つの線分に分ける. (イ)(ア)でできた3つの線分のうちの中央の線分に,\ その線分を1辺とする正三角形 を$F_n$の外側に追加する. (ウ)すべての辺に対して(ア)と(イ)を行って得られる多角形を$F_$とする. 一般に,\ よって,\ n=1,\ 2,\ 3,のときを具体的に考えると,\ 規則性が見つけることができる. しかし,\ それだけでは論理に不安が残る. 厳密に示すため,\ ことになる. F_の1辺の長さはF_nの1辺の長さの13倍であるから,\ 等比数列型漸化式ができる. F_の辺の個数はF_nの辺の個数の4倍であるから,\ 等比数列型漸化式ができる. 1辺の長さl_nに辺の個数K_nを掛けることで周の長さL_nが得られる. 底>1より,\ この無限等比数列は無限大に発散する. 面積は単純に何倍というわけではないので,\ 少し厄介である. S_nに新たに加わる面積を考える.\ まずは具体的に考えよう. F₁がF₂になるときに加わる三角形の1辺の長さはl₂である.\ l₁ではないので注意する. よって,\ その三角形の面積は,\ 12 l₂ l₂sin60°\ である. この三角形が,\ F₁の辺の個数K₁個加わることになる.\ K₂個ではないので注意する. よって,\ S₂=S₁+12 l₂ l₂sin60° K₁\ である. これを一般化したのが解答である.\ nとn+1が紛らわしいので,\ 細心の注意が必要である. S_-S_n=(nの式)\ は,\ である. 公式 a_-a_n=f(n)\ のとき a_n=a₁+n-1>f(k)(n2) なお,\ n→∞とするので,\ n=1のときを確認する必要はない. 1> (項数n-1個の等比数列の和)\ 底
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