単振り子の力学的エネルギー

単振り子の力学的エネルギー 長さ l [m] の軽い糸に、質量 m [kg] のおもりを付けた単振り子があるとします。このおもりを最下点から高さ h 上 [m] の最上点の位置 ＊ 最上点というのは手を放す位置、つまりスタート地点という意味です。天井と同じ高さの位置というわけではありません。 閉じる で静かに放したときのおもりの速さを求めます。重力加速度の大きさを g [m/s

長さ l [m] の軽い糸に、質量 m [kg] のおもりを付けた単振り子があるとします。このおもりを最下点から高さ h 上 [m] の最上点の位置＊ 最上点というのは手を放す位置、つまりスタート地点という意味です。天井と同じ高さの位置というわけではありません。 閉じる で静かに放したときのおもりの速さを求めます。重力加速度の大きさを g [m/s 2 ] とし、空気抵抗は無視できるものとします。

＊高さについて：上図を見てもらうとわかると思いますが h = l - l cos θ = l (1-cos θ ) です。

力学的エネルギー保存の法則により、常に E 上 = E 任 = E 下 です。

最上点でのおもりの速さは v 上 = 0 です。振り子のおもりは最上点では一瞬止まるので 0 です。

これを θ 上 を使わず、 h 上 を使って表現してみます。 h 上 = l (1-cos θ 上) より h 上 = l - l cos θ 上 よって h 上 - l = - l cos θ 上 であり、これを上式に代入しますと、

E 上 は mg l (1 - cos θ 上) であると同時に mgh 上 でもあるので、 E 上 = E 下 は以下のようにも表せます。

なお、文中で θ 上 や v 下 などという表記を用いましたが、これはわかりやすくするためであり、物理の数式表記の慣習には反します。答案用紙に解答を書く際は、このような記号は用いず、 θ' 、 v 0 などと表記してください。また、問題文中の記号が上記の記号のどれに当てはまるのか、たとえば問題文中で θ が出てきた時、上記のうちの θ 上 なのか θ 任 なのか θ 下 なのか、どれに当てはまるのか慎重に考えてください。それらに気を付ければ上記の式のうちいずれかを使って問題を解くことができるはずです。

これは v 下 = \(\sqrt\) に h 上 = l を代入しても求まります。

逆に、最下点で初速を与えたとき、おもりがどのくらいの高さまで持ち上がるかを問われたら、 2 gh 上 = v 下 2 の式に v 下 の値を代入すれば h 上 が求まります。高さでなく角度を問われたなら、 2 gl (1 - cos θ 上) = v 下 2 の式に代入すれば求まります。