積和公式の導出と覚え方

三角関数の積和公式の証明，導出の考え方について解説します。

積和の方式を繰り返し用いる。 cos ⁡ 2 0 ∘ cos ⁡ 4 0 ∘ cos ⁡ 8 0 ∘ = 1 2 ( cos ⁡ 6 0 ∘ + cos ⁡ 2 0 ∘ ) cos ⁡ 8 0 ∘ = 1 4 cos ⁡ 8 0 ∘ + 1 2 cos ⁡ 2 0 ∘ cos ⁡ 8 0 ∘ = 1 4 cos ⁡ 8 0 ∘ + 1 4 ( cos ⁡ 10 0 ∘ + cos ⁡ 6 0 ∘ ) = 1 4 ( cos ⁡ 8 0 ∘ + cos ⁡ 10 0 ∘ ) + 1 8 = 1 8 \begin &\cos 20^ \cos 40^ \cos 80^\\ &= \dfrac (\cos 60^ + \cos 20^) \cos 80^\\ &= \dfrac \cos 80^ + \dfrac \cos 20^ \cos 80^\\ &= \dfrac \cos 80^ + \dfrac (\cos 100^ + \cos 60^)\\ &= \dfrac (\cos 80^ + \cos 100^) + \dfrac\\ &= \dfrac \end ​ cos 2 0 ∘ cos 4 0 ∘ cos 8 0 ∘ = 2 1 ​ ( cos 6 0 ∘ + cos 2 0 ∘ ) cos 8 0 ∘ = 4 1 ​ cos 8 0 ∘ + 2 1 ​ cos 2 0 ∘ cos 8 0 ∘ = 4 1 ​ cos 8 0 ∘ + 4 1 ​ ( cos 10 0 ∘ + cos 6 0 ∘ ) = 4 1 ​ ( cos 8 0 ∘ + cos 10 0 ∘ ) + 8 1 ​ = 8 1 ​ ​

このタイプの問題は積和の公式を繰り返し用いることで， cos ⁡ θ + cos ⁡ ( π − θ ) \cos \theta + \cos (\pi - \theta) cos θ + cos ( π − θ ) のような形が登場して，うまくまとまることが多いです。

積和公式に B = 0 B=0 B = 0 を代入すると，

東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る