バームクーヘン積分の例と証明

有名な求積テクニックであるバームクーヘン積分について。例題として東大の入試問題を扱います。また，２通りの証明を解説します。

f ( x ) = π x 2 sin ⁡ π x 2 f(x)=\pi x^2\sin \pi x^2 f ( x ) = π x 2 sin π x 2 とする。 y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) のグラフの 0 ≦ x ≦ 1 0\leqq x\leqq 1 0 ≦ x ≦ 1 の部分と x x x 軸で囲まれた図形を y y y 軸のまわりに回転させてできる図形の体積 V V V は V = 2 π ∫ 0 1 x f ( x ) d x V=2\pi\displaystyle\int_0^xf(x)dx V = 2 π ∫ 0 1 ​ x f ( x ) d x で与えられることを示し，この値を求めよ。

V = ∫ 0 1 2 π 2 x 3 sin ⁡ π x 2 d x V=\displaystyle\int_0^12\pi^2x^3\sin\pi x^2dx V = ∫ 0 1 ​ 2 π 2 x 3 sin π x 2 d x ここで， π x 2 = y \pi x^2=y π x 2 = y と置換すると， d y d x = 2 π x \dfrac=2\pi x d x d y ​ = 2 π x より， V = ∫ 0 π y sin ⁡ y d y V=\displaystyle\int_0^y\sin ydy V = ∫ 0 π ​ y sin y d y これを部分積分すると， V = π V=\pi V = π となる。

まずは，厳密ではありませんがイメージをつかむために「簡単な説明」です。以下では f ( x ) ≧ 0 f(x)\geqq 0 f ( x ) ≧ 0 の場合を解説します（一般の場合も本質的には同じ）。

目標の図形のうち， x = t , x = t + Δ t x=t,x=t+\Delta t x = t , x = t + Δ t で囲まれた部分を y y y 軸の回りに回転させた立体を考える。 Δ t \Delta t Δ t が小さいとき，この立体は，「半径 t + Δ t t+\Delta t t + Δ t で高さ f ( t ) f(t) f ( t ) の円柱」から「半径 t t t で高さ f ( t ) f(t) f ( t ) の円柱」を除いたものと近似できる。

よって，その微小体積は f ( t ) π ( t + Δ t ) 2 − f ( t ) π t 2 f(t)\pi(t+\Delta t)^2-f(t)\pi t^2 f ( t ) π ( t + Δ t ) 2 − f ( t ) π t 2 となる。 Δ t \Delta t Δ t が十分小さいとき Δ t 2 \Delta t^2 Δ t 2 の項は無視できるので，微小体積は 2 π t f ( t ) Δ t 2\pi tf(t)\Delta t 2 π t f ( t ) Δ t となる。これを積分するとバームクーヘン積分の公式を得る。

簡単な説明1における図形は，切り開いてみると，各辺の長さが f ( t ) , Δ t , 2 π t f(t), \Delta t, 2\pi t f ( t ) , Δ t , 2 π t の直方体に近似できる。そのため，微小体積は 2 π t f ( t ) Δ t 2\pi t f(t) \Delta t 2 π t f ( t ) Δ t となる。

f ( x ) f(x) f ( x ) が単調な関数のときには置換積分と部分積分を用いることでバームクーヘン積分が導出できます！（ f ( x ) f(x) f ( x ) が単調でない場合に関しては単調な区間で区切って足し合わせればよい）

バームクーヘン積分を用いずにセオリー通り「回転させてから y y y 軸に垂直な平面で切る」ことで体積を求めます。

f ( x ) f(x) f ( x ) が単調減少の場合を考える（単調増加の場合も同様）。

f ( α ) = A , f ( β ) = B f(\alpha)=A,\:f(\beta)=B f ( α ) = A , f ( β ) = B ， f f f の逆関数を f − 1 f^ f − 1 とおくと， V = π β 2 B + ∫ B A π ( f − 1 ( y ) ) 2 d y − π α 2 A V=\pi\beta^2B+\displaystyle\int_^A\pi (f^(y))^2dy-\pi\alpha^2A V = π β 2 B + ∫ B A ​ π ( f − 1 ( y ) ) 2 d y − π α 2 A （斜線部分＝下＋上ー左）

次に，第二項の積分を変形する。 x = f − 1 ( y ) x=f^(y) x = f − 1 ( y ) と置換すると， d y d x = f ′ ( x ) \dfrac=f'(x) d x d y ​ = f ′ ( x ) より， ∫ B A π ( f − 1 ( y ) ) 2 d y = ∫ β α π x 2 f ′ ( x ) d x = − ∫ α β π x 2 f ′ ( x ) d x \begin&\displaystyle\int_^A\pi (f^(y))^2dy\\ &=\displaystyle\int_^\pi x^2f'(x)dx\\ &=-\displaystyle\int_^\pi x^2f'(x)\enddx ​ ∫ B A ​ π ( f − 1 ( y ) ) 2 d y = ∫ β α ​ π x 2 f ′ ( x ) d x = − ∫ α β ​ π x 2 f ′ ( x ) ​ d x

さらに部分積分を用いると， ∫ α β π x 2 f ′ ( x ) d x = [ π x 2 f ( x ) ] α β − ∫ α β 2 π x f ( x ) d x = π β 2 B − π α 2 A − ∫ α β 2 π x f ( x ) d x \begin&\displaystyle\int_^\pi x^2f'(x)dx\\ &=\displaystyle\left[\pi x^2f(x)\right]_^-\int_^2\pi xf(x)dx \\&=\displaystyle\pi\beta^2 B-\pi\alpha^2 A-\int_^2\pi xf(x)dx\end ​ ∫ α β ​ π x 2 f ′ ( x ) d x = [ π x 2 f ( x ) ] α β ​ − ∫ α β ​ 2 π x f ( x ) d x = π β 2 B − π α 2 A − ∫ α β ​ 2 π x f ( x ) d x ​

以上より， V = ∫ α β 2 π x f ( x ) d x V=\displaystyle\int_^2\pi xf(x)dx V = ∫ α β ​ 2 π x f ( x ) d x

バームクーヘン積分は f ( x ) f(x) f ( x ) が単調でない場合により威力を発揮します。

東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る

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