２０２３年（令和５年）度愛知県公立高校入試数学の問題と解説

２０２３年（令和５年）度愛知県公立高校入試数学の問題と解説です。入試制度がかなり変わった年なので気をつけておきたいところだったのですが、基本重視の受験生思いの問題構成でした。解説は一通りしておきますが問題を解くこと …

(6) 「１つ」選べば良いので適当に探しても良いですが、ここではすべて関数にしておきます。ア \(\hspace\displaystyle xy=100 または y=\frac\) イ \(\hspace\displaystyle \underline< \color >\) ウ \(\hspace\displaystyle y=\pi\,x^2\) エ \(\hspace\displaystyle y=x^3\)

イは比例とも言いますが一次関数です。 (7) \(\,1\,\)が２枚あるので区別して樹形図です。続けて取り出すので同じ数字は並びません。 \(\hspace\displaystyle \frac=\underline>\)

(9) 一次関数の変化の割合は「傾き」です。 \(\hspace\displaystyle (\,変化の割合\,)=\frac< (\,y\,の増分\,) >< (\,x\,の増分\,) >\) 関数\(\displaystyle \,y=2\,x^2\,\)の変化の割合を求めれば良いですね。 \(\hspace(\,x\,の増分\,)=\,3-1\,=\,\color\) \(\hspace(\,y\,の増分\,)=\,2\times 3^2-2\times 1^2\,=\,\color\) なので \(\hspace\displaystyle (\,変化の割合\,)=\frac=\underline< 8 >\) この傾きを持つのは、 \(\,\underline < エ >y=8\,x+6\,\) (10) 「全て」選ぶので全てを見ていきます。ア異なる２点を含むのは１つの直線を含むのと同じです。エ同じ直線上にある３点を含む、というのはアと同じです。直線\(\,\ell\,\)を軸にクルクル回せばいくらでもあります。イ交わる２直線を含む平面は定まります。ウ平行な２直線を含む平面は定まります。平面は一直線上にない３点があれば定まります。イもウも１つの直線以外に１点選べるので定まりますね。答え \(\underline< イ \,,\, ウ >\)

第２問

\(\,\large\,\) (1) データの用語の意味と箱ひげ図の読み取りです。「２つ」選ぶので怪しいものではなく確実にいえることを探すと早いかも。ア「範囲」は最大値と最小値の差なので違います。× イ四分位範囲は第３四分位数と第１四分位数の差なので同じ値です。○ ウ中央値は第２四分位なので同じ値です。○ 答えは出ましたが一応説明を続けます。エ第三四分位数に着目すると\(\,\mathrm\,\)組の方が多いです。× （四分位数は度数で区切られることを忘れないように。）オ中央値となる\(\,\mathrm\,\)に数人いても箱ひげ図は変わらないので同じとは言えない。× 答え\(\hspace\underline< イ , ウ >\) (2) 合同の証明です。 \(\,\mathrm\,\)≡\(\,\mathrm\,\) 平行四辺形\(\,\mathrm\,\)に\(\,\mathrm\,\)の条件があります。証明は図の中で終わらせておきましょう。二等辺三角形の底角は等しいから \(\hspace\mathrm=\mathrm> ･･･③\) 平行線の錯角等しいから \(\hspace\mathrm>=\mathrm> ･･･④\) ③④から \(\hspace\mathrm=\mathrm ･･･⑤\) 後は平行四辺形の対辺が等しいことと仮定の\(\,\mathrm\,\)から、「２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。」という合同条件がそろいます。

このとき点\(\,\mathrm\,\)は\(\,\mathrm\,\)に戻っていることも見ておくと次が楽になります。 ② 問題の意味は\(\,\mathrm\,\)と\(\,\mathrm\,\)が等しくなるのは何回か？です。 \(\,\mathrm\,\)を\(\,y\,\)として関数にしても良いですが、グラフを利用するように問題が言ってくれているのでグラフを完成させましょう。 \(\,y\,\)が等しいときなので点\(\,\mathrm\,\)と点\(\,\mathrm\,\)のグラフの交点の数を求めます。点\(\,\mathrm\,\)は\(\,4\,\)秒毎に、点\(\,\mathrm\,\)は\(\,3\,\)秒毎に折り返すことが分かれば、直線の繰り返しなので交点の数が求まります。 \(\hspace\underline< エ 4\,回 >\)

点\(\,\mathrm\,\)の関数を３つ（直線なので一次関数です。）、点\(\,\mathrm\,\)の関数を４つ求めても良いですが、交点となる\(\,x\,,\,y\,\)は求めていないので見た目で判断して良いでしょう。

第３問

(2) 長方形内の線分と面積で平行四辺形と考え方は同じです。平行四辺形の条件だけだと面積に苦労しそうですが、長方形なのでいろいろと使えるのでなんとかなりそうです。 ① 線分\(\,\mathrm\,\)の長さです。中点連結定理から\(\,\mathrm\,\)は\(\,\mathrm\,\)の中点になるので、三平方の定理から \(\begin\displaystyle \mathrm&=&\mathrm\\ &=&3^2+5^2\\ &=&34\\ \mathrm&=&\pm \sqrt \end\) 長さだから正の数で \(\hspace\mathrm=\underline < \sqrt(\,\mathrm\,)>\)

底辺と高さとなる垂線は見つからないし、相似を利用して線分比でいきましょう。 ※ （どうでも良いけど\(\,\mathrm\,\)と\(\,\mathrm\,\)は直交していませんよ。）

１つだけ共通して出しておきたい比があります。 \(\hspace\mathrm:\color:\color>\) これが分かれば面積は長方形から直接出てきます。（お決まり問題だから会員は軽く終わっていると思います。）

面積計算は長方形の\(\,60\,\)から図の中で追っていけば分かり易いです。 \(\hspace\displaystyle \mathrm=60\times \frac\times \frac\times \frac ･･･☆\)

なんだか自分で見てもまとまりが良くないです。線分比を求める方向で進めてください。（こういう方向性が多いときは考え方は１つだけにした方が良いですね。）

(3) 立体（空間図形）での面積と体積です。きれいな数値でややこしくもないので簡単に済ませます。 ※ 長さの単位は\(\,\mathrm\,\)す。 ① 台形\(\,\mathrm\,\)の面積です。台形の面積を求める公式は小学校で習っているので説明は不要でしょう。

高さとなる\(\,\mathrm\,\)が必要です。等脚台形なので直角三角形\(\,\mathrm\,\)において三平方の定理を利用して \(\begin \mathrm&=&\mathrm\\ \mathrm+3^2&=&5^2\\ \mathrm&=&16\\ \mathrm&=&\pm 4 \end\) 長さなので正の数だから \(\hspace\mathrm=\color\) よって、求める台形の面積\(\,S\,\)は \(\begin\displaystyle S&=&\frac+\color>\times \color\\ &=&\underline< 24 >\,(\,\mathrm\,) \end\) ② 公式のない立体の体積です。いつも通り全体と部分がありますが、『部分』＋『部分』で良いでしょう。 ①で引いた垂線（台形の高さ）を含む平面で立体を台形と垂直に切ります。２つの三角すいと１つの三角柱を加えれば、求める体積\(\,V\,\)が求まります。長さは①で求めてあるので確認しながら計算しましょう。これがわかりにくいという人は、自分で図に書き込んでいないからです。人の解答見て分かった気になっているだけでは答えは出ません。きれいな数値で取り組みやすくしてくれているとはいえ、愛知県はそこまで甘くはないです。

変化の年だからでしょうか、マークする時間を考えてくれ、きれいな数値で問うてくる優しい問題でした。ただし、頭の中だけで処理できるとは思えないので、しっかり手は動かし続ける必要はあります。

形式が変わったからといって過去問に意味がないわけではありません。内容は変わらず、と見ていても良いです。過去問は\(\,\mathrm\,\)と日程２つ分あるので参考になるところは多いと思いますよ。

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